二次函数的定义

二次函数的定义是什么？

a、b、c是常数。一般地，把形如 （a、b、c是常数）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。顶点坐标 交点式为 （仅限于与x轴有交点的抛物线），与x轴的交点坐标是 和 。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。扩展资料函数性质：1、二次函数的图像是抛物线，但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）。2、抛物线有一个顶点P，坐标为P 。当 时，P在y轴上；当 时，P在x轴上。3、二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。|a|越大，则抛物线的开口越小；|a|越小，则抛物线的开口越大。4、一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右侧。（可巧记为：左同右异）5、常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0, c）参考资料：百度百科-二次函数

什么是二次函数

二次函数的基本表示形式为y=ax²+bx+c（a≠0）。含义：二次函数（quadratic function）的基本表示形式为y=ax²+bx+c（a≠0）。二次函数最高次必须为二次， 二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。二次函数表达式为y=ax²+bx+c（且a≠0），它的定义是一个二次多项式（或单项式）。如果令y值等于零，则可得一个二次方程。该方程的解称为方程的根或函数的零点。二次函数的判断方法：①函数关系式是整式；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0。二次函数的解析式的作用：从做题的角度来说，它的作用很简单，就是：给出一个x的值，就可以求出对应的y值；给出一个y值，也可以求出对应的x值；简单的说，就是由x求y，或者由y求x的，就这么点儿用。基本图像：在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax2+bx+c的图像，可以看出，在没有特定定义域的二次函数图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由y=ax2平移得到的。开口：二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，则二次函数图像的开口越小。决定位置因素：一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a。当a>0,与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号。可简单记忆为左同右异，即当对称轴在y轴左时，a与b同号（即a>0，b>0或a。事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。决定交点因素：常数项c决定二次函数图像与y轴交点。二次函数图像与y轴交于（0,C）点。注意：顶点坐标为（h,k)， 与y轴交于（0,C)。二次函数的历史：大约在公元前480年，古巴比伦人和中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。7世纪印度的婆罗摩笈多是第一位懂得使用代数方程的人，它同时容许有正负数的根。11世纪阿拉伯的花拉子密 独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liber embadorum中，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是：在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍；在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方；然后在方程的两边同时开二次方（引自婆什迦罗第二）

什么是二次函数？

二次函数是指具有以下形式的函数：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c都是常数，且a不等于零。二次函数的图像通常呈现出平滑的弧线，称为抛物线。
二次函数的性质如下：
1. 对称性：二次函数的图像关于垂直方向的直线 x = -b/(2a) 对称。也就是说，对于给定的二次函数图像，在该直线左右两侧的点的y值完全相同。
2. 开口方向：二次函数的开口方向由a的正负决定。当a大于零时，抛物线开口向上；当a小于零时，抛物线开口向下。
3. 零点和轴对称点：二次函数的零点是使得y等于零的x值，可以通过求解方程ax^2 + bx + c = 0得到。轴对称点是抛物线的顶点，其x坐标为-x坐标的二分之一。
4. 最值点：当抛物线开口向上时，二次函数的最小值发生在轴对称点上；当抛物线开口向下时，二次函数的最大值发生在轴对称点上。
5. 增减性：当a大于零时，随着x增大，二次函数的值逐渐增加；当a小于零时，随着x增大，二次函数的值逐渐减小。
6. 范围：二次函数的范围取决于开口方向。当抛物线开口向上时，范围为所有正实数；当抛物线开口向下时，范围为所有负实数。
总结起来，二次函数的图像是一个平滑的抛物线，具有对称性、开口方向、零点和轴对称点、最值点、增减性和范围等性质。这些性质在解决数学问题、分析曲线走势和预测趋势等方面都具有重要的应用价值。