阿贝尔群
一个扩张称为
阿贝尔扩张
，如果是阿贝尔群。一个一次根式扩张是一个阿贝尔扩张。相关概念多重阿贝尔扩张多重阿贝尔扩张(multiple Abelian extension)是由一串阿贝尔扩域构成的域扩张，设K是域F的扩域，若存在K的一串子域链
使得是的阿贝尔扩域，则称K为F的多重阿贝尔扩张
，或多重阿贝尔扩域
。根式扩域、素阶群扩张塔皆为多重阿贝尔扩域。库默尔扩张库默尔扩张(Kummer extension)是阿贝尔扩张的一种类型，设E是域F的一个阿贝尔扩域，若E/F的伽罗瓦群中元素的最大阶数为m(m称为G的指数)，并且F含m个不同的m次单位根，则E称为F的
库默尔m扩张
；E称为库默尔域，例如，设F含本原n次单位根，且E为多项式在F上的分裂域，则E是F的库默尔n扩张
。此时，E是F的阿贝尔扩域且F的特征数不能整除n，于是，在E内无重根，所以，是可分的，从而是正规的。分圆域扩张分圆域扩张(cyclotomic field extension)是一类重要的阿贝尔扩张，设Ω是域F的代数闭包，其中间域K称为F的一个分圆扩域，若K是通过对F添加某些单位根而生成的，此域扩张称为
分圆域扩张
。K是域F的有限次分圆扩域的充分必要条件为，存在一个本原单位根，使。对有理数域Q添加一个本原n次单位根ξ所得的分圆扩张Q(ξ)称为圆的n分域，它是有理数域Q的φ(n)次阿贝尔扩域，其中φ(n)为欧拉函数。n分域来源于其中，从而可将单位圆n等分。克罗内克青春之梦克罗内克青春之梦(Kronecker’sdream of youth)是代数数论中分圆域理论方面的一个问题。所谓分圆域，是指在有理数域上添加n次本原单位根 而得到的数域 。如果L/K是数域的阿贝尔扩张，且它的伽罗瓦群是阿贝尔群，那么L被称为K的
阿贝尔扩张
。如果K是有理数域Q的阿贝尔扩张，那么K被称为阿贝尔数域。从伽罗瓦理论可知，分圆域的每个子域都是阿贝尔数域，反之，每个阿贝尔数域也必定是某个分圆域的子域，这就是著名的韦伯-克罗内克定理
。关于希尔伯特第12问题：能否对任意的代数数域K明显地构造出K的全部阿贝尔扩张？上述定理给出了时的结果。1853年，30岁的德国数学家克罗内克猜想：每个虚二次域K的极大阿贝尔扩域是将K添加某种椭圆函数在全部有理点处的取值而得到的域，这就是所谓克罗内克青春之梦
。这一猜想引起许多学者的兴趣，希尔伯特也曾做过重要工作。1920年，日本数学家高木贞治创立了 类域论，他把类域的定义作了推广，证明了一个代数数域的任何阿贝尔扩张都可以表示为该数域上的类域。这样一来，一般阿贝尔扩张的性质就十分清楚了，从而彻底解决了克罗内克的猜想。类域论基本介绍类域论是代数数论中最为重要的理论之一，也是数学所有理论中体系最为完美的理论之一，它深刻地刻画了(相对)阿贝尔扩张。
类域论是描述下列几种类型的域k的Abel扩张(Galois群是交换群的有限Galois扩张)的理论：
(1)k为代数数域，即有理数域Q的有限扩张；
(2)k是p-adic数域的有限扩张；
(3)k是有限域上一个变量的代数函数域；
(4)k是有限域上的形式幂级数域。
类域论基本定理在类域论中，最为著名的就是由Kronecker，Weber，HiIberr还有其他一些数学家总结出来的类域论基本定理：
定理1(类域论基本定理)
若是数域的有限Abel扩张，其Galois群为，则存在k的模(称为的导子，是的一个除子)。(1)使得对k的任意模m，由得出其中为与m互素的k的理想集，为与m互素的K的理想到k的范的全体，为模m余1的生成的主理想集；
(2) k的素除子v在K分歧当且仅当；k的与m互素的素理想p在K中完全分裂当且仅当；
(3) 对k的任意模m和的任一含的子群H，总存在唯一的Abel扩张使得，特别地定理中，称为
射线
理想类群，所谓射线理想类群即是一种广义理想类群，它是类域论最初的表述语言(马上将会用伊代尔语言给出类域论基本定理)。数域k的一个模(或称为闭链)是指其素除子的一个形式积此积式中v遍历k的素除子，整数只对有限个v非零，且当v是实除子时 或1，当v是复除子时。对于，定义为 (当v是素除子)以及到vC嵌入为正实数(为实除子)。满足的生成的主理想的全体记为，与m互素的k的理想全体记作，于是 便称为k的以m为模的射线理想类群，其元素个数称为射线理想类数。上面已经提到，射线理想类群是类域论基本定理的最初表述语言，而更常用的是伊代尔语言，下面就给出类域论基本定理的伊代尔语言。
定理1'(类域论基本定理的伊代尔语言)
若是数域的有限Abel扩张，则其中为k的伊代尔群， 表示K的伊代尔群到k的范数。上述群的同构是由Artin映射(Artin符号)给出的。由类域论基本定理的伊代尔语言可以看出，数域k的所有具有Abel扩张与的含的所有开子集H之间存在一一对应关系，即K对应于，称为H的类域(Class Field)，且(类域论主同构)
(2)和(4)类型的域称为
局部的
，(1)和(4)类型的域称为整体的
。于是，相应的就有 局部类域论和整体类域论
。